Главная - Социальное страхование - Доказательство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции

Доказательство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции


Доказательство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции

2.5. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы булевых функций


Получаем СКНФ. Пример 1. Постройте КНФ функции

.

Решение Исключим связку «

» с помощью законов преобразования переменных: = законы де Моргана и двойного отрицания/ =

/дистрибутивные законы/ =

. Пример 2. Приведите к ДНФ формулу

. Решение Выразим логические операции

и

через

,

и

:

Доказательство таблицы истинности дистрибутивного закона

Операнды и результаты некоторых побитовых операций X У х & у X v у X IMP y .x EQV y х XOR y Логические операции.

NOT. Поразрядный оператор not (he), или дополнение, является одноместной операцией, которая выполняет логическое отрицание на каждом бите, формируя дополнение данного би­нарного значения. Биты, содержавшие бывшие «0», устанавлива­ются в «1»; и наоборот.

Например: 1000 = NOT 0111 Во многих языках программирования (включая С), пораз­рядный оператор not обозначается как «~» (тильда).

Этот оператор не следует путать с «логическим отрицанием» («!» — восклицательный знак), который обрабатывает все значение как отдельное булевское.

OR.Побитовый оператор OR (или, «включающее или») об­рабатывает две битовые строки равной длины и создает третью (той же длины), где каждый бит является результатом опера­ции «включающее или» над каждой парой входных битов. Например: 0111 = 0101 OR 0011 В ЯП С поразрядный оператор OR обозначается символом «|» (вертикальная черта).

Билет № 11. Дизъюнкция высказываний и её свойства (доказательство одного из них).

Отрицание высказываний и его свойства (доказательство одного из них). Билет № 13. Импликация высказываний и её свойства (доказательство одного из них).

Обратная, противоположная и обратная противоположной импликации. Импликацией двух высказываний A и B называется новое высказывание A=>B(из А следует В, если А то В),которое ложно только в том случаи, когда А-ИСТИНА,В-ложь, во всех остальных случаях! Импликация-истина А В A=>B И И И И Л Л Л И И Л Л И Свойства: 1.закон контропозиции A=>B ó В =>A A B A=>B В A В => A И И И Л Л И И Л Л И Л Л Л И И Л И И Л Л И И И И Если дана импликация A=>B ,то импликация В=>A называется обратной A=>B противоположной данной В =>A обратно — противоположной данной.

Эквиваленция высказывания — …двух высказ. a и b,называется новое высказывание A<=>B,которые

Свойства операций над высказываниями

5.

;

;

; 6.

(или

) (закон исключенного третьего);

(или

(закон противоречия); 7.

(или

);

Основы алгебры логики

При нарушении этого закона возможны логические ошибки. Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.

В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу — движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском смысле — как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу. Закон непротиворечия: В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего: 1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.

2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.

Формулы и законы логики


Поэтому будем использовать «натуральные» названия.

3. Эта жидкость является или не является кислотой.
Приведу стандартное, но довольно-таки остроумное определение: формулами алгебры высказываний называются: 1) любые элементарные (простые) высказывания

; 2) если

и

– формулы, то формулами также являются выражения вида

.

Продолжаем: На самом деле с понятием логической формулы вы уже знакомы.

Никаких других формул нет. В частности формулой является любая логическая операция, например логическое умножение

. Поскольку

Дистрибутивности закон

и A / (B & С) экв.

Обратите внимание на второй пункт – он позволяет рекурсивным образом «создать» сколь угодно длинную формулу.

(А / В) & (А / С) (дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции). В логике предикатов операция связывания переменной квантором общности дистрибутивна относительно конъюнкции: ∀ х (Ф (х) & Ψ (χ)) экв. ∀ х Ф (x) & ∀ х Ψ (x) (т.е. высказывания «для всякого x справедливо свойство Φ и свойство Ψ» и «для всякого x справедливо свойство Φ и для всякого x справедливо свойство Ψ» эквивалентны), но не дистрибутивна относительно дизъюнкции (т.
к. из высказывания

«для всякого x справедливо свойство Φ или свойство Ψ»

не следует высказывание «для всякого x справедливо свойство Φ или для всякого x справедливо свойство Ψ», хотя обратное следование и имеет место).

Операция же связывания переменной квантором существования дистрибутивна относительно дизъюнкции: (т.е. высказывания «существует такое x, для к-рого верно Φ или Ψ» и «существует такое x, для к-рого верно Ф, или существует

Тавтологии логики предикатов

Теорема 21.8. Всякая формула, получающаяся из тавтологии алгебры высказываний заменой входящих в нее пропозициональных переменных произвольными предикатными переменными, является тавтологией логики предикатов.Доказательство.

Пусть

— тавтология алгебры высказываний иявляются предикатные переменные. Подставим их в данную формулу вместо пропозициональных переменных соответственно.

Получим формулу логики предикатов: .

Если теперь вместо предикатных переменных подставить произвольные конкретные предикаты , то формула превратится в конкретный предикат . Этот предикат тождественно истинный, потому что подстановка вместо предметных переменных любых конкретных предметов из соответствующих множеств превращает данный предикат в высказывание , которое может быть получено также в результате подстановки в исходную тавтологию алгебры высказываний вместо пропозициональных переменных конкретных высказываний соответственно и потому истинно.

Свойства операций конъюнкции и дизъюнкции

• Рассмотрим взаимосвязь операций конъюнкции и дизъюнкции с кванторными операциями.

Пример 3.3.3. Определим значения двух формул:

Сформулируем предложения, выражаемые этими формулами. Р = «Любое действительное число больше 0 или меньше 1».

Q =

«Любое действительное число больше 0 или любое действительное число меньше 1»

. Предложение Р истинно, так как всякое действительное число попадет в интервал (-оо; 1) или (0; +оо), поскольку их объединение даст все множество R Предложение Q ложно, так как оба высказывания УдгеН(д>0) и VagR(xложны.

Действительно, существование отрицательного числа х=- опровергает первое утверждение, а существование числа х=2 опровергает второе утверждение. Итак, предложения Р и Q не равносильны.

• Этот пример показывает, что формулы V.* (А(хУ/В(х)) и /дЛ(д)у/д?(д) (в общем случае) не равносильны.